historia de la trigonometria

La historia de la trigonometria se remonta a las primeras matematicas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los angulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometria en las matematicas. En el siglo II a.C. el astronomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonometrica para resolver triangulos. Comenzando con un angulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del angulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astronomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numerico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomia el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su metodo para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triangulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triangulos esfericos, y durante muchos siglos su trigonometria fue la introducción basica para los astronomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonometrico basado en la funcion seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta funcion seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporcion, sino la longitud del lado opuesto a un angulo en un triangulo rectangulo de hipotenusa dada. Los matematicos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astronomos arabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas decadas del siglo X ya habían completado la funcion seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esfericos. Varios matematicos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonometricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esfericos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomia y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la direccion de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islamica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astronomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrís plana y esferica como ciencias matematicas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometria arabe a través de traducciones de libros de astronomia arabigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matematico y astronomo aleman Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astronomo aleman Georges Joachim, conocido como Retico, introdujo el concepto moderno de funciones trigonometricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas lineas. El matematico frances François Viete incorporó el triangulo polar en la trigonometria esferica y encontró formulas para expresar las funciones de angulos multiples, sen ne y cos ne, en funcion de potencias de sen e y cos e.

Los calculos trigonometricos recibieron un gran empuje gracias al matematico escoces John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas nemotecnicas para resolver triangulos esfericos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triangulos esfericos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicacion de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el calculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matematicas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x . Con la invención del calculo las funciones trigonometricas fueron incorporadas al analisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matematicas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matematico suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonometricas utilizando expresiones con exponenciales de numeros complejos. Esto convirtió a la trigonometria en sólo una de las muchas aplicaciones de los numeros complejos; además, Euler demostró que las propiedades basicas de la trigonometria eran simplemente producto de la aritmetica de los numeros complejos.