programacion en c++

¿QUE ES LA PROGRAMACION ORIENTADA A OBJETOS?
En la programacion estructurada todos los programas tienen las estructuras
secuencial, repetitiva o condicional.Tambien se utilizan los TAD (Tipos Abstractos de
Datos) para por ejemplo una pila o un arbol.
typdef struct{
int x,y;
int color;
}punto;
struct punto a,b;
luego se implementan las funciones de este TAD (pila_vacia, pila_llena).
En C++ se definen los TAD y las funciones o procedimientos y datos dentro de un
mismo conjunto llamado class (clase).En el ejemplo, el typedef struct punto seria el
equivalente en C de la class de C++ y las variables a y b de los objetos en C++
CLASES ( CLASS )
Antes de poder definir un objeto debemos definir la clase a la que pertenece ( igual
que en el ejemplo anterior debemos definir antes la estructura punto para luego
poder definir las variables a y b ). La forma general de describir una clase seria mas
o menos:
class nombre_clase {
datos y funciones privados;
public:
datos y funciones publicos;
funcion constructora;
funcion destructora;
};
Los datos y funciones privados son los que no se puede acceder a ellas desde las
funciones que son miembros de la clase ( que estan definidas en ella ), se
comportan igual que las variables definidas localmente en una funcion en C normal.
En cambio, los datos y las funciones publicas son accesibles por todas las funciones
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del programa ( igual que si estuviesen definidas las varibles globalmente en C
normal ).
Por defecto, en una clase se define todos los datos y funciones privados, a menos
de que le especifiquemos las que son publicas con la instruccion public.
Para saber si una funcion debe ser definida publica o privada, debemos ver si el
resto del programa necesita “conocer como funciona” dicha funcion. Si la respuesta
es “si” entonces la funcion debe ser publica, en caso contrario debe ser privada.
Como despues de leer este rollo no te habras enterado ( con esta explicacion no me
extraña ), un ejemplo:
-Vamos a crear la clase CRONOMETRO:
class CRONOMETRO{
struct time tm; // Variable que coge la hora del sistema
int andando;
void dif_tm(time tr, time ts, time *dif);
public:
void Arranca(void);
void Muestra(void);
void Para(void);
};
CRONOMETRO p; (p sera un objeto de la clase cronometro);
La funcion dif_tm es privada porque al resto del programa no le interesa acceder a
ella, en cambio es las funciones Arranca, Muestra y Para si pueden acceder a ella
porque necesitan saber la diferencia entre dos tiempos ( sobre todo la funcion
Muestra, que es la que muestra dicha diferencia). Para llamar a una funcion de la
clase desde una parte del programa que no pertenece a dicha clase, se utiliza
nombre_objeto.funcion;
FORMATOS DE CIN Y COUT
En C++ se empieza a utilizar el concepto de fujos de E/S y no son mas que una
clase (son dos clases: CIN y COUT). Las salidas con formatos de COUT:
cout <dec = %d (enteros)
hex = hexadecimal
oct = octal
endl = "\n" (en CIN y COUT se puede seguir poniendo "\n")
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ends = '\0' (inserta el fin de cadena, un NULL, no el caracter cero)
setw (num) fija la anchura de un campo en n bytes;
cout<setprecision(n) = fija el numero de decimales que queremos (n).
todas estas cosas estan en la libreria
*Sacar un numero en tres formatos: hexadecimal, octal y decimal:
#include
#include
int num;
cin<cout<<" el numero decimal es: "<cout<<"el numero octal es: "<cout<<" el numero decimal es: "<
si desean conocer mas ver este vinculo: http://ctc.aspira.org/PDF%20files/cplus.pdf

matematica en la india

Si bien algunos testimonios permiten opinar que durante la época védica (1500 a 1000 a. C.) y brahmánica (siglo V) existió en la India una ciencia matemática, no obstante fue durante la época clásica (siglos I al VIII) cuando los matemáticos hindúes llegaron a la madurez.

Con anterioridad a este período, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, los matemáticos hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.

El mundo les debe el invento trascendental del sistema de numeración de base 10, llamado de posición y fundado en el empleo de 9 cifras y del cero, si bien los Antiguos mayas, paralelamente, lo conocieron (siglos IV al VII). Los griegos lo ignoraron siempre y solamente, mucho más tarde, fue introducido en occidente por los árabes. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema decimal dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas. El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratado que data probablemente del siglo VI y parece que no es muy anterior a éste. Los trabajos matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar "algebraica".

El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes.

ecuaciones trigonometricas

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

Ejemplo ilustrativo1:

monitoreo de redes

Para prevenir errores en el sistema existe una computadora que está "monitoreando" el funcionamiento de la red.

Estos errores a menudo se deben a problemas de ruido en la línea de transmisión y crean situaciones que no existen, tales como direcciones de computadoras que no pertenecen a ninguno de los nodos, errores en la información, por mencionar algunos.

Cada una de las computadoras realiza un chequeo sobre la información contenida en el paquete que viaja a lo largo de toda la red, si esta información no es válida por alguna razón, se declara inválido el paquete escribiendo una bandera de error (son los últimos 6 bytes del paquete de información).

Cada uno de los nodos lleva cuenta de los errores que están ocurriendo en la red, de tal forma que si una computadora se da cuenta de que el número de errores excedió a la cuenta permitida, le informa a la computadora que está "monitoreando" a la red, a fin de que pueda declararse una condición de error y mostrarla en el servidor de toda la red.

El standard de IBM Token-Ring sigue al standard 802.5 de la IEEE sobre los protocolos que definen el paso de los paquetes de información en la red y la forma de comunicación (baseband-signaling).

SPANNING TREE

Spanning Tree Protocol (STP) es un protocolo de red de la segunda capa OSI, (nivel de enlace de datos). Está basado en un algoritmo diseñado por Radia Perlman mientras trabajaba para DEC. Hay 2 versiones del STP: la original (DEC STP) y la estandarizada por el IEEE (IEEE_802.1D), que no son compatibles entre sí. En la actualidad, se recomienda utilizar la versión estandarizada por el IEEE.

Su función es la de gestionar la presencia de bucles en topologías de red debido a la existencia de enlaces redundantes (necesarios en muchos casos para garantizar la disponibilidad de las conexiones). El protocolo permite a los dispositivos de interconexión activar o desactivar automáticamente los enlaces de conexión, de forma que se garantice que la topología está libre de lazos. STP es transparente a las estaciones de usuario.

Los bucles infinitos ocurren cuando hay rutas alternativas hacia una misma máquina o segmento de red de destino. Estas rutas alternativas son necesarias para proporcionar redundancia, ofreciendo una mayor fiabilidad. Si existen varios enlaces, en el caso que uno falle, otro enlace puede seguir soportando el tráfico de la red. Los problemas aparecen cuando utilizamos dispositivos de interconexión de nivel de enlace, como un puente de red o un conmutador de paquetes.

Cuando hay lazos en la topología de red, los dispositivos de interconexión de nivel de enlace reenvían indefinidamente las tramas Broadcast y multicast, al no existir ningún campo TTL (Time To Live, Tiempo de Vida) en la Capa 2, tal y como ocurre en la Capa 3. Se consume entonces una gran cantidad de ancho de banda, y en muchos caso la red queda inutilizada. Un router, por el contrario, si podría evitar este tipo de reenvíos indefinidos. La solución consiste en permitir la existencia de enlaces físicos redundantes, pero creando una topología lógica libre de lazos. STP permite solamente una trayectoria activa a la vez entre dos dispositivos de la red (esto previene los bucles) pero mantiene los caminos redundantes como reserva, para activarlos en caso de que el camino inicial falle.

Si la configuración de STP cambia, o si un segmento en la red redundante llega a ser inalcanzable, el algoritmo reconfigura los enlaces y restablece la conectividad, activando uno de los enlaces de reserva. Si el protocolo falla, es posible que ambas conexiones estén activas simultáneamente, lo que podrían dar lugar a un bucle de tráfico infinito en la LAN.

Existen varias variantes del Spaning Tree Protocol, debido principalmente al tiempo que tarda el algoritmo utilizado en converger. Una de estas variantes es el Rapid Spanning Tree Protocol

El árbol de expansión (Spanning tree) permanece vigente hasta que ocurre un cambio en la topología, situación que el protocolo es capaz de detectar de forma automática. El máximo tiempo de duración del árbol de expansión es de cinco minutos. Cuando ocurre uno de estos cambios, el puente raíz actual redefine la topología del árbol de expansión o se elige un nuevo puente raíz.

Funcionamiento

Este algoritmo cambia una red física con forma de malla, en la que existen bucles, por una red lógica en árbol en la que no existe ningún bucle. Los puentes se comunican mediante mensajes de configuración llamados Bridge Protocol Data Units (B.P.D.U).

El protocolo establece identificadores por puente y elige el que tiene la prioridad más alta (el número más bajo de prioridad numérica), como el puente raíz. Este puente raíz establecerá el camino de menor coste para todas las redes; cada puerto tiene un parámetro configurable: el Span path cost. Después, entre todos los puentes que conectan un segmento de red, se elige un puente designado, el de menor coste (en el caso que haya mismo coste en dos puentes, se elige el que tenga el menor identificador), para transmitir las tramas hacia la raíz. En este puente designado, el puerto que conecta con el segmento, es el puerto designado y el que ofrece un camino de menor coste hacia la raíz, el puerto raíz. Todos los demás puertos y caminos son bloqueados, esto es en un estado ya estacionario de funcionamiento.

Elección del puente raíz

La primera decisión que toman todos los switches de la red es identificar el puente raíz ya que esto afectará al flujo de tráfico. Cuando un switch se enciende, supone que es el switch raíz y envía las BPDU que contienen la dirección MAC de sí mismo tanto en el ID raíz como emisor. Cada switch reemplaza los ID de raíz más alta por ID de raíz más baja en las BPDU que se envían. Todos los switches reciben las BPDU y determinan que el switch que cuyo valor de ID raíz es el más bajo será el puente raíz. El administrador de red puede establecer la prioridad de switch en un valor más pequeño que el del valor por defecto (32768), lo que hace que el ID sea más pequeño. Esto sólo se debe implementar cuando se tiene un conocimiento profundo del flujo de tráfico en la red.

Mantenimiento del Spanning Tree

Cada intervalo de tiempo marcado en el valor "Hello Time" de las BPDU, suele ser 2 segundos, el puente raíz emite un BPDU proponiéndose como raíz. Los puentes designados cambian sus identificadores y recalculan los costes hasta la raíz. Cuando un puente recibe una BPDU en el que el identificador de la raíz es mayor que el suyo propio, intenta convertirse en raíz y envía BPDUs en los que el identificador de la raíz es su propio identificador.

En cambio, si cuando un puente recibe una BPDU en el que el camino a la raíz es mayor que el coste que él mismo puede ofrecer por uno de sus puertos, intenta convertirse en puente designado. Si el coste es el mismo, se compararían identificadores.

El algoritmo converge cuando todos los puertos de los puentes están en estado de envío o bloqueo.

Estado de los puertos

Los estados en los que puede estar un puerto son los siguientes:

• Bloqueo: En este estado sólo se pueden recibir BPDU's. Las tramas de datos se descartan y no se actualizan las tablas ARP.
• Escucha: A este estado se llega desde Bloqueo. En este estado, los switches determinan si existe alguna otra ruta hacia el puente raíz. En el caso que la nueva ruta tenga un coste mayor, se vuelve al estado de Bloqueo. Las tramas de datos se descartan y no se actualizan las tablas ARP. Se procesan las BPDU.
• Aprendizaje: A este estado se llega desde Escucha. Las tramas de datos se descartan pero ya se actualizan las tablas ARP (ya se aprenden las direcciones MAC). Se procesan las BPDU.
• Envío: A este estado se llega desde Aprendizaje. Las tramas de datos se envían y se actualizan las tablas ARP. Se procesan las BPDU.
• Desactivado: A este estado se llega desde cualquier otro. Se produce cuando un administrador deshabilita el puerto o éste falla. No se procesan las BPDU.

historia de la trigonometria

La historia de la trigonometria se remonta a las primeras matematicas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los angulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometria en las matematicas. En el siglo II a.C. el astronomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonometrica para resolver triangulos. Comenzando con un angulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del angulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astronomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numerico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomia el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su metodo para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triangulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triangulos esfericos, y durante muchos siglos su trigonometria fue la introducción basica para los astronomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonometrico basado en la funcion seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta funcion seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporcion, sino la longitud del lado opuesto a un angulo en un triangulo rectangulo de hipotenusa dada. Los matematicos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astronomos arabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas decadas del siglo X ya habían completado la funcion seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esfericos. Varios matematicos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonometricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esfericos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomia y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la direccion de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islamica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astronomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrís plana y esferica como ciencias matematicas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometria arabe a través de traducciones de libros de astronomia arabigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matematico y astronomo aleman Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astronomo aleman Georges Joachim, conocido como Retico, introdujo el concepto moderno de funciones trigonometricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas lineas. El matematico frances François Viete incorporó el triangulo polar en la trigonometria esferica y encontró formulas para expresar las funciones de angulos multiples, sen ne y cos ne, en funcion de potencias de sen e y cos e.

Los calculos trigonometricos recibieron un gran empuje gracias al matematico escoces John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas nemotecnicas para resolver triangulos esfericos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triangulos esfericos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicacion de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el calculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matematicas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x . Con la invención del calculo las funciones trigonometricas fueron incorporadas al analisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matematicas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matematico suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonometricas utilizando expresiones con exponenciales de numeros complejos. Esto convirtió a la trigonometria en sólo una de las muchas aplicaciones de los numeros complejos; además, Euler demostró que las propiedades basicas de la trigonometria eran simplemente producto de la aritmetica de los numeros complejos.

HISTORIA DE LA GEOMETRIA

Geometría antes de los griegos

Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. La ornamentación esquemática abstracta de vasos, cerámica y ciertos utensilios así lo parecen confirmar.

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de "receta"- para calcular áreas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. De allí el nombre de Geometría: "medición de la tierra". Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización -así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.

La Geometría griega antes de Euclides

En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar.

La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.

Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.

En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que geométrico.

Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

Euclides y "Los Elementos"

Fragmento del Papiro Oxyrhynchus con unas lineas de Los Elementos de Euclides

Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, "Los Elementos", modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.

Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

Después de Euclides

Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio.

Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Esquema de las cuatro secciones cónicas.

Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.

Los tres problemas de la Antigüedad

La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes:

La duplicación el cubo

Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)³ = 2³l³ = 8l³). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).

La trisección del ángulo

Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado hacerlo.

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.