viernes, 17 de octubre de 2008

TEOREMA DE LOS NUMEROS PRIMOS

Entre las muchas cuestiones en las que están implicados los números primos, una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números enteros. ¿Se distinguen de sus parientes no primos de una manera puramente al azar? ¿O existe alguna regla, algún patrón discernible con el que ocurren los números primos? La respuesta a la última pregunta es "una especie de". Si ésta parece una especie de respuesta evasiva e insatisfactoria, en el presente trabajo esperamos demostrar que realmente es una respuesta muy atrevida que parafrasea uno de los resultados más espectaculares de todas las matemáticas: el teorema de los números primos.

Quien investigue la distribución de los números primos debería empezar con una lista. A continuación, se escriben los primeros 25 números primos menores que 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Si hay aquí un patrón, no es nada claro. Por supuesto, todos los números primos mayores que 2 son impares, pero esto no es de mucha ayuda. Advertimos unas cuantas lagunas en los números primos: no hay ninguno del 24 al 28 ni del 90 al 96, siendo este último número una serie de siete números compuestos consecutivos. Por otra parte, vemos que algunos números primos ocurren solamente separados dos unidades -por ejemplo, 5 y 7 ó 59 y 61-. Estos números primos contiguos, que tienen la forma de p y p+2, se llaman números primos gemelos.

Para aumentar el número de datos, reunimos todos los números primos desde el 101 al 200:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 139, 149,151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199

Esta vez hay 21 números de esta clase. Una vez más observamos lagunas, como los nueve números compuestos seguidos del 182 al 190, aunque los números primos gemelos persisten a lo largo de esos números hasta el 197 y 199.

En un estudio de la distribución total de números primos, parecía que las lagunas (en las que los números primos consecutivos están muy separados) y los números primos gemelos (en los que los números primos consecutivos están muy juntos) deberían jugar un importante papel. ¿Existen lagunas más largas entre los números primos? ¿Son las existencias de números primos gemelos infinitos? Interesantemente la primera pregunta se responde fácilmente, pero la segunda es uno de los misterios irresueltos de la teoría de números.

Comencemos con la respuesta fácil. Supongamos que se nos pide una ristra de cinco números compuestos consecutivos. Consideremos los números:

6!+2 = 722, 6!+3 = 723, 6!+4 = 724, 6!+5 = 725, 6!+6 = 726

Es fácil ver que ninguno de estos números es primo, pero es más instructivo preguntar por qué esto es así. El primer número es 6!+2 = 6·5·4·3·2·1+2. Puesto que 2 es un factor de 6! y de sí mismo, 2 es un factor de la suma 6!+2. De ahí que 6!+2 no sea un número primo. Pero tampoco lo es 6!+3 = 6·5·4·3·2·1+3, ya que 3 divide igualmente a ambos términos y por consiguiente a la suma de los dos. Asimismo, 4 es un factor de 6! y de 4, y, por tanto de su suma, igualmente 5 es un factor de 6!+5, y 6 es un factor de 6!+6. Puesto que cada uno de estos números tiene un factor, ninguno es primo. Hemos generado, por tanto, cinco números consecutivos que no son primos.

Se puede argüir convincentemente que hemos realizado una búsqueda demasiado complicada. Después de todo, los cinco números compuestos seguidos 24, 25, 26, 27, 28 servirían exactamente igual. ¿Por qué introducir factoriales que nos llevan hasta el 700?

La respuesta es que necesitamos un procedimiento general. Si nos piden una serie de 500 números compuestos seguidos, el examen de una lista de números primos no sería realista, pero el razonamiento utilizado anteriormente suministrará una serie de esta clase exactamente de la misma manera.

Esto es, comenzamos con el número 501!+2 y tomamos los números enteros desde un número hasta el 501!+501. Es evidente que esto nos da 500 números enteros consecutivos. Casi tan evidente es el hecho de que todos estos números son compuestos, ya que 2 divide exactamente a 501!+2, 3 divide exactamente a 501!+3, y así sucesivamente hasta 501, que divide exactamente a 501!+501. Aquí hay 500 números compuestos consecutivos.

Exactamente el mismo procedimiento comenzando con 5.000.001!+2 produciría cinco millones de números consecutivos con ningún número primo entre ellos, y podríamos exactamente producir con la misma facilidad cinco mil millones o cinco billones consecutivos de números compuestos. Esta argumentación tiene una pasmosa consecuencia: existen lagunas arbitrariamente largas entre los números primos.

Esto significa que si continuáramos como antes contando los números primos entre cada centena de números enteros, alcanzaríamos un punto en el que no habría ningún número primo en absoluto -una centena de números seguidos desprovista de números primos-. Pero la situación es aún más extraña. Cuando se trata de una ristra de cinco millones de números compuestos consecutivos, examinaríamos 50.000 grupos consecutivos de cien números enteros cada uno y ¡nunca encontraríamos un número primo entre ellos! En este punto parecería practicamente cierto que se nos han agotado del todo los múmeros primos.

A quien crea esto lo remitimos a la demostración de la infinidad de los números primos. Deben existir enormes lagunas, lagunas tan grandes que ningún humano podría contarlos durante toda la vida; sin embargo, más allá de estas lagunas, en alguna parte deben existir más números primos, siempre más números primos. Literalmente son inagotables.

¿Qué hay sobre el otro tema? ¿Son las existencias de los números primos gemelos similarmente inagotables? Los especialistas en teoría de números han luchado con este problema durante siglos. Incluso entre los números muy grandes, los números primos gemelos saltan aquí y allá. Los números primos 1.000.000.000.061 y 1.000.000.000.063 son un ejemplo. Pero hasta el día de hoy nadie puede demostrar que existe un número infinito de números primos gemelos. La cuestión permanece irresuelta. Aunque este problema continúa desconcertando a las mejores mentes matemáticas, la cuestión de la infinidad de los tripletes de números primos es fácil de establecer. Decimos que tres números primos forman un triplete si adoptan la forma p, p+2 y p+4. Por ejemplo, los números 3, 5 y 7 son un triplete. ¿Existen conjuntos infinitamente numerosos de éstos?

Para responder a esta cuestión, observamos en primer lugar que cuando un número cualquiera se divide por 3, el resto debe ser 0, 1 ó 2. Así si tenemos el triplete de números primos p, p+2 y p+4 y dividimos por 3, existen tres posibles resultados. Quizá el resto es 0. Esto es, podría ser múltiplo de 3, es decir, p=3k para cualquier número entero k. Si k=1, entonces p=3, y nos encontramos con el triplete 3, 5 y 7 otra vez. Pero si k ³ 2, entonces p=3k no es un número primo, porque habría dos factores propios, 3 y k. Se sigue que 3, 5 y 7 son el único triplete posible para este caso. Alternativamente, el resto de dividir p por 3 podría ser 1, de modo que p=3k + 1 para cualquier número entero k ³ 1. (Nótese que podemos eliminar k=0 ya que p = 3 · 0 + 1 = 1 no es un número primo). Para este caso el segundo miembro del triplete es p+2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1). Obviamente, p+2, al tener los factores 3 y k+1, no puede ser un número primo. Concluimos que no hay tripleta en este caso. Finalmente, supongamos que p dividido por 3 nos da un resto de 2. Entonces, p=3k +2 para cualquier entero k ³ 0. Por tanto, el tercer número del triplete es p+4=(3k + 2) + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2). Pero entonces p+4 no es un número primo, ya que tiene un factor de 3. Ningún triplete de números primos encaja tampoco en esta categoría.

Reuniendo nuestros resultados, vemos que el único conjunto de tripletes de números primos es el triplete sencillo: 3, 5, 7. La respuesta a la pregunta "¿Existe un número infinito de tripletes de números primos?" es un sonoro "no". Sólo hay uno. Sin embargo sustituyendo la palabra tripletes por gemelos convierte esto en un problema ingente.

¿Que se puede decir acerca de la distribución global de los números primos entre los números enteros? Una opción es acercarse al problema reuniendo datos, examinándolos y buscando pruebas de una posible regla.

Introducimos el símbolo p(x) para representar el número de primos menores o iguales que el número entero x. Por ejemplo, p(8) = 4, ya que 2, 3, 5 y 7 son los cuatro números primos menores o iguales que 8. Asimismo, p(9) = p(10) = 4 también. Pero p(13) = 6, ya que 2, 3, 5, 7, 11, y 13 son los seis números primos menores o iguales a 13.

Ahora reunimos datos. Esto supone contar números primos y construir una tabla para p(x). Vamos a dar una lista de los valores de p(x) para potencias de 10 desde 10 a 10.000 millones. Las dos columnas de la derecha de la tabla requieren una explicación. Una da los valores de

p(x)
x

que es la proporción de los números menores o iguales a x que son primos. Por ejemplo, hay exactamente 78.498 números primos menores o iguales que un millón, de manera que

p(1.000.000) = 78.498 = 0,078498
1.000.000 1.000.000

Esto significa que el 7.85 por ciento de todos los números por debajo de un millón son primos, y el 92.15 por ciento son números compuestos.

RECUPERACION DEL GRUB

Consiste en usar una distribución en modo LiveCD para instalar nuevamente el GRUB. Usaremos el LiveCD de Ubuntu (debe ser la versión Live o Desktop), aunque puede ser cualquier otra distribución que use GRUB como gestor de arranque y no LILO.

En modo de resumen, los pasos que hay que seguir son los siguientes:

1. Arrancar una distribución LiveCD
2. Montar la partición donde se encuentra instalado Ubuntu
3. Instalar el GRUB en esa partición

A continuación se explica, en unos sencillos pasos, cómo hacerlo:

1. Iniciamos el ordenador y arrancamos desde el CD
2. Arrancamos Ubuntu (o la distribución escogida) en modo LiveCD
3. Abrimos una terminal o consola (no es necesario si tenemos una interfaz de línea de comandos, es decir, en modo texto)
4. Creamos una carpeta donde montar la partición de Ubuntu (la podemos crear en /media, por ejemplo: /media/ubuntu/)
5. Montamos la partición donde se encuentra instalado Ubuntu, usando el comando mount.
6. Aquí hay dos soluciones posibles:


Mediante el intérprete de comandos GRUB
Opción 1

1. Ejecutamos los siguientes comandos:

$ sudo grub --> ejecutamos el intérprete de comandos del GRUB
> root (hdX,Y) --> indicamos dónde está ubicada la partición de Ubuntu
> setup (hdX) --> instalamos el GRUB en ese disco
> quit --> salimos del intérprete de comandos del GRUB

Donde X es el número de disco rígido, y Y es el número de partición. Este sistema difiere un poco del usado para montar las particiones en GNU/Linux; ambos son un único número decimal y comienzan en 0; por ejemplo:

* hd0: es el primero disco duro completo, al igual que hda o sda
* hd0,0: es la primera partición del primer disco duro, al igual que hda1 o sda1
* hd0,1: es la segunda partición del primer disco duro, al igual que hda2 o sda2
* hd1,2: es la tercera partición del segundo disco duro, al igual que hdb3 o sdb3

El primer disco duro del GRUB es el primer disco duro maestro, el segundo es el primer disco duro esclavo, el tercero es el segundo disco duro maestro, y así sucesivamente.

Opción 2

1. Desde una consola ejecutamos los siguientes comandos:

$ sudo grub --> ejecutamos el interprete de comando de grub
> find /boot/grub/stage1 --> busca donde esta la partición de ubuntu
> root (hdX,Y) --> poner el valor devuelto anterior
> setup (hd0) --> instala grub en nuestro primer disco duro (hd0),
que es con el que inicia la computadora
> quit --> salimos del interprete de comando de grub


Cambiando el origen de la carpeta raíz

Cambiamos el origen de la carpeta raíz de nuestro sistema de archivos al directorio en el que hemos montado la partición de Ubuntu, para que al instalar GRUB interprete que la raíz del sistema está ahí.

1. Antes que nada, crear un directorio y montar allí la partición de Ubuntu:

$ sudo mkdir /media/ubuntu
$ sudo mount /dev/hda1 /media/ubuntu

2. Luego conectar el directorio dev del livecd con el de la partición Ubuntu:

$ sudo mount --bind /dev /media/ubuntu/dev

3. El comando necesario para cambiar el origen del directorio raiz es:

$ sudo chroot /media/ubuntu/

4. Ahora instalamos el GRUB en el MBR del primer disco duro, que normalmente estará configurado como Primary Master (hda):

# grub-install /dev/hda

domingo, 5 de octubre de 2008

RENTABILIDAD FINANCIERA

En economía, la rentabilidad financiera o "ROE" (en inglés, Return on equity) relaciona el beneficio económico con los recursos necesarios para obtener ese lucro. A nivel empresa, muestra el retorno para los accionistas de la misma, que son los únicos proveedores de capital que no tienen ingresos fijos.

La rentabilidad puede verse como una medida de cómo una compañía invierte fondos para generar ingresos. Se suele expresar como porcentaje.

ROE=\frac{Beneficio\ Neto}{Patrimonio\ Neto}


Por ejemplo si se coloca en una cuenta un millón y los intereses generados son 100 mil, la rentabilidad es del 10%. La rentabilidad de la cuenta se calcula dividiendo la cantidad generada y la cantidad que se ha necesitado para generarla.

NORMALIZACION EN UNA BASE DE DATOS

Para otros usos de este término, véase Normalización (desambiguación).

El proceso de normalización de bases de datos consiste en aplicar una serie de reglas a las relaciones obtenidas tras el paso del modelo entidad-relación al modelo relacional.

Las bases de datos relacionales se normalizan para:

* Evitar la redundancia de los datos.
* Evitar problemas de actualización de los datos en las tablas.
* Proteger la integridad de los datos.

En el modelo relacional es frecuente llamar tabla a una relación, aunque para que una tabla sea considerada como una relación tiene que cumplir con algunas restricciones:

* Cada columna debe tener su nombre único.
* No puede haber dos filas iguales. No se permiten los duplicados.
* Todos los datos en una columna deben ser del mismo tipo.
TERMINOLOGIA
* Relación = tabla o archivo
* Tupla = registro, fila o renglón
* Atributo = campo o columna
* Clave = llave o código de identificación
* Clave Candidata = superclave mínima
* Clave Primaria = clave candidata elegida
* Clave Ajena = clave externa o clave foránea
* Clave Alternativa = clave secundaria
* Dependencia Multivaluada = dependencia multivalor
* RDBMS = Del inglés Relational Data Base Manager System que significa, Sistema Gestor de Bases de Datos Relacionales.
* 1FN = Significa, Primera Forma Normal o 1NF del ingles First Normal Form.

Los términos Relación, Tupla y Atributo derivan de las matemáticas relacionales, que constituyen la fuente teórica del modelo de base de datos relacional.

Todo atributo en una tabla tiene un dominio, el cual representa el conjunto de valores que el mismo puede tomar. Una instancia de una tabla puede verse entonces como un subconjunto del producto cartesiano entre los dominios de los atributos. Sin embargo, suele haber algunas diferencias con la analogía matemática, dado que algunos RDBMS permiten filas duplicadas, entre otras cosas. Finalmente, una tupla puede razonarse matemáticamente como un elemento del producto cartesiano entre los dominios.
PRIMERA FORMA NORMAL
Una tabla está en Primera Forma Normal sólo si

* Todos los atributos son atómicos. Un atributo es atómico si los elementos del dominio son indivisibles, mínimos.
* La tabla contiene una clave primaria
* La tabla no contiene atributos nulos
* Si no posee ciclos repetitivos

Una columna no puede tener múltiples valores. Los datos son atómicos. (Si a cada valor de X le pertenece un valor de Y, entonces a cada valor de Y le pertenece un valor de X)....
SEGUNDA FORMA NORMAL
Dependencia Funcional. Una relación está en 2FN si está en 1FN y si los atributos que no forman parte de ninguna clave dependen de forma completa de la clave principal. Es decir que no existen dependencias parciales.

En otras palabras podríamos decir que la segunda forma normal está basada en el concepto de dependencia completamente funcional. Una dependencia funcional X -> Y es completamente funcional si al eliminar los atributos A de X significa que la dependencia no es mantenida, esto es que A Є X, (X – {A}) -x-> Y. Una dependencia funcional X-> Y es una dependencia parcial si hay algunos atributos A Є X que pueden ser removidos de X y la dependencia todavía se mantiene, esto es A Є X, (X – {A}) -> Y . Por ejemplo {SSN,PNUMBER} -> HOURS es completamente dependencia dado que ni SSN -> HOURS ni PNUMBER -> HOURS mantienen la dependencia. Sin embargo {SSN,PNUMBER} -> ENAME es parcialmente dependiente dado que SSN->ENAME mantiene la dependencia
TERCERA FORMA
La tabla se encuentra en 3FN si es 2FN y cada atributo que no forma parte de ninguna clave, depende directamente y no transitivamente, de la clave primaria.

Un ejemplo de este concepto sería que, una dependencia funcional X->Y en un esquema de relación R es una dependencia transitiva si hay un conjunto de atributos Z que no es un subconjunto de alguna clave de R, donde se mantiene X->Z y Z->Y.. Por ejemplo, la dependencia SSN->DMGRSSN es una dependencia transitiva en EMP_DEPT de la siguiente figura. Decimos que la dependencia de DMGRSSN el atributo clave SSN es transitiva via DNUMBER porque las dependencias SSN->DNUMBER y DNUMBER->DMGRSSN son mantenidas, y DNUMBER no es un subconjunto de la clave de EMP_DEPT. Intuitivamente, podemos ver que la dependencia de DMGRSSN sobre DNUMBER es indeseable en EMP_DEPT dado que DNUMBER no es una clave de EMP_DEPT.

miércoles, 1 de octubre de 2008

rectas paralelas

Paralelismo es la cualidad de paralelo y, en geometría, puede referir a rectas o planos.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan y, por tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma distancia.

Dos planos son paralelos cuando no se cortan y, también, los puntos más próximos de ambos guardan siempre la misma distancia.
* Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

a || a

* Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Si a || b \Rightarrow b || a

* Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Si a || b \wedge b || c \Rightarrow a || c

* Corolario de la propiedad transitiva: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.

* Corolario: Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección